KİMYADA MATEMATİKSEL YÖNTEMLER
I. GİRİŞ
Çalışma
sonucu elde edilmiş veriler değerlendirilmezlerse bilgiye dönüşmezler. Bunun
yanısıra elde edilmiş verileri değerlendirmek için çeşitli yöntemler
kullanılabilir. Belli şartlarda elde edilmiş verilerden hareketle diğer
verileri tahmin edebilmek uygulamalı bilimlerin belkide en çok üzerinde durduğu
konularından biridir. Fakat veri yığınları arasında kaybolunması veya veriler
arasındaki ilişkileri verilere öylece bakarak görmek oldukça zordur. Hatta bazı
önemli verileri ihmal bile edebiliriz. Verileri düzenli olarak görebilmenin
yollarından biri grafik kullanmaktır. Bu amaçla genelde;
I.2. Düzlemsel
polar koordinatlar
I.3. Küresel
polar koordinatlar
I.4.
Silindirik polar koordinatlar
Yararlanılır.
I.1. Kartezyen Koordinatlar :
Birbirine dik iki eksenden oluşmuş
koordinat sistemleri kartezyen koordinatlar veya lineer koordinarlar olarak
adlandırılır. Düzlem üzerinde bulunan bir nokta bu koordinat sistemi
kullanılarak tanımlanabilir. Eksenlerden düşey olanı ordinat yatay olanı ise
absis olarak adlandırılır. İki eksenin kesiştiği nokta başlangıç noktası orjin
olarak adlandırılır. Kartezyen koordinat sistemi pek çok denel verilerin
çizilmesi için kimyada yoğun olarak kullanılırlar. Kartezyen koordinat sistemi
kullanılarak çizilmiş basınç-hacim ilişkisi alttaki grafikte gösterilmiştir
(Şekil 1).
Şekil 1 : İdeal Gazlarda basınç-hacim değişimi |
Bu noktadan sonra bu tür koordinat
sistemi kullanılarak bir grafiğin nasıl çizilebileceğini adım adım görecegiz.
Aşağıdaki veriler CH4 için 25 °C de basınç-molar hacimleri göstermektedir (D.R.
Donsalin, R.H. Harrison, R.T.Moore, J.P. Mc Cullough, J. Chem. Eng. Data,
9:358(1964).
V / L. mol-1 |
1 |
½ |
1/3 |
1/4 |
1/5 |
1/6 |
P / atm. |
23.4749 |
45.2050 |
65.5470 |
84.8673 |
103.539 |
121.969 |
Peki böyle bir grafiği el ile çizerken nasıl bir yol
kullanabiliriz ve bu çizim sırasında nelere dikkat etmeliyiz. Bunu anlatabilmek
için yukarıdaki verilerden yararlanılacaktır.
|
Burada grafik çizilirken
yapılan hata her iki eksen için aynı birim büyüklüklerin kullanılmasıdır. 20
L mol-1 birimlere karşılamak için 20 atm. lik birimler alınmış.
Elde edilen grafik basınç ile hacmin nasıl değiştiğini gösteremiyor. |
|
Burada grafik çizilirken
yapılan hata her iki eksen için aynı birim büyüklüklerin kullanılmasıdır. 5 L
mol-1 birimlere karşılamak için 5 atm. Lik birimler alınmış. Elde
edilen grafik basınç ile hacmin nasıl değiştiğini gösteremiyor. Ayrıca
çizilen gridlerin fazlalığı dikkati çekiyor. Eksenlerdeki rakamları gösteren
veriler birbirlerine karışmış durumda |
|
Eksenleri gereğinden büyük
almakta veriler arasındaki ilişkinin nasıl olduğunun gözden kaçmasına neden
olabilir. Burada hacim ekseni için gereğinden fazla eksen uzatılmış |
|
Eksenleri gereğinden büyük
almakta veriler arasındaki ilişkinin nasıl olduğunun gözden kaçmasına neden
olabilir. Burada basınç ekseni için gereğinden fazla eksen uzatılmış |
|
Eksenleri gereğinden büyük
almakta veriler arasındaki ilişkinin nasıl olduğunun gözden kaçmasına neden
olabilir. Burada da hem hacim ekseni
hemde basınç ekseni için gereğinden fazla eksenler uzatılmış |
|
Yandaki şekilde ise
yukarıdaki verilerin kullanılması ile daha anlaşılır bir grafik çizildikten
sonra görülüyor. |
Şimdi
benzer şekilde adımlar halinde bir grafiğin nasıl çizileceğini göreceğiz. Bu
işlem adımlar halinde anlatılacaktır.
Suda AgCl çözünürlüğü, sıcaklığın bir fonksiyonu
olarak verilmiştir. Bu verileri
kullanrak sıcaklığın fonksiyonu olarak AgCl çözünürlüğünün nasıl değiştiğini
uygun bir grafikle gösteriniz.
T/ °C |
1.55 |
4.68 |
9.97 |
17.51 |
25.86 |
34.12 |
(g AgCl/1000 g H2O)´104 |
56 |
66 |
89 |
131 |
194 |
274 |
Bu veriler için sıcaklığın bir fonksiyonu olarak hız
sabitlerinin nasıl değiştiğini grafiklerle inceleyelim.
1. 1. Çizimi
yapacağımız grafik kağıdının şeklinin aşağıdaki şekilde bölümlenmiş olduğunu
varsayalım.
2. 2. Sıcaklık
1.55-34.12 °C arasında değişmiştir
(X ekseni değerleri ). AgCl çözünürlüğü ise 56´10-4- 274´10-4 arasında değişmiştir. Bu verileri grafik
kağıdına nasıl dağıtılacağını görelim.
X
eksenine yerleştirilecek sıcaklıkların 0-40 arasında yer aldığını düşünelim. 40
birimin 40 °C ye karşı geldiğini
düşünürsek; 1 birim 1 °C ye karşı gelecektir.
|
(I) |
olacaktır.
Y
eksenine yerleştirilecek değerlerin 50´10-4 ile 300´10-4
arasında olduğunu düşünelim. Bu verileri de 50 birim arasına dağıtmaya
çalışalım.
|
(II) |
yazılabilir.
Burada da her 10 birim 50x10-4 g AgCl/1000 g H2O karşı
gelecektir. Bu durumda yukarıdaki hesaplamaları kullanarak grafik kağıdını
şekilde düzenleyebiliriz.
3. 3. Bundan sonraki kısımda verilerin grafiğe
oturtulması söz konusudur.. bu amaçla yukarıda elde edilen I ve II nolu
eşitliklerinden yararlanılabilir.
T/ °C |
1.55 |
4.68 |
9.97 |
17.51 |
25.86 |
34.12 |
(g AgCl/1000 g H2O)´104 |
56 |
66 |
89 |
131 |
194 |
274 |
Değerlere göre sıcaklığı 0 °C den başlatmıştık.
Çözünürlük ise 50 den başlamıştı.
Sıcaklıklar |
1.55 |
4.68 |
9.97 |
17.51 |
25.86 |
34.12 |
(g AgCl/1000 g H2O)´104 |
56 |
66 |
89 |
131 |
194 |
274 |
X eksenindeki veriler |
(t 1.55 °C) = (1 birim/oC)x1.55 = 1.55 birim |
(t 4.68 °C) = (1 birim/oC)x4.68 (oC) = 4.68
birim |
(t 9.97 °C) = (1 birim/oC)x9.97 (oC) = 9.97
birim |
(t 17.51 °C) = (1 birim/oC)x17.51 (oC) =
17.51 birim |
(t 25.86 °C) = (1 birim/oC)x25.86 (oC) =
25.86 birim |
(t 34.12 °C) = (1 birim/oC)x34.12 (oC) =
34.12 birim |
Y eksenindeki veriler |
(çöz 56 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H2O)x
(56 - 50)x10-4 g AgCl/1000 g H2O = 1.2 birim |
(çöz 66 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H2O)x
(66 - 50)x10-4 g AgCl/1000 g H2O = 3.2 birim |
(çöz 89 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H2O)x
(89 - 50)x10-4 g AgCl/1000 g H2O = 7.8 birim |
(çöz 131 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H2O)x
(131 – 100)x10-4 g AgCl/1000 g H2O = 6.2 birim |
(çöz 194 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H2O)x
(194 – 150)x10-4 g AgCl/1000 g H2O = 8.8 birim |
(çöz 274 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H2O)x
(274 – 250)x10-4 g AgCl/1000 g H2O = 4.8 birim |
4. 4. Bundan
sonraki işlem grafiğin formatlanmasının tamamlanmasıdır. Bu amaçla;
-
-
Kılavuz çizgileri ortadan kaldırılmalı,
-
-
Noktalar denel veriler olduklarını
gösterecek şekilde daha vurgulu şekilde işaretlenmeli
-
-
Grafiğin başlığı konulmalıdır.
Bu şekilde hazırlanmış grafik aşağıdadır.
5. 5. Şimdi bu
grafiğe belli noktaları birleştirmek için bir çizgi çizmek istediğimizi
varsayalım. Böylece ara değerler için tahmini noktalar bulabiliriz. Fakat nasıl
bir çizgi ile noktalar birleştirilmelidir. Bu konu daha sonra ele alınacaktır.
Ev Ödevi : Aynı grafik üzerinde verileri karşılaştırmak için
birden fazla grafiği nasıl çizersiniz. Örn. KCl ve NaCl çözünürlüklerinin
sıcaklıkla nasıl değiştiğini ek bir grafik üzerinde göstermeye çalışınız. Verileri
birbirine karıştırmamak için ne yaparsınız?
Kartezyen koordinatlarda; eğer bir
büyüklük aynı anda iki değişkene bağımlı olarak gösterilmek istenirse bu iki
değişkene göre üç boyutlu kartezyen koordinatlara göre grafiğine elde
edilebilir. Yandaki şekilde sabit miktarda bir gazın hacminin, sıcaklık ve
basınçla nasıl değiştiği gösterilmiştir. Sonsuz sayıda kartezyen koordinat
sisteminin yan yana konulmasıyla 3 boyutlu değişim grafikleri elde edilebilir.
Bu şekildeki bir koordinat sistemi; iki boyutlu bir yerden üçüncü boyutlu bir
yere geçmemize neden olur. Bu noktada; böyle bir uzayda hacim elemanından söz
edilebilir. dV hacim elemanı için; dV
= dxdydz yazılabilir (Şekil 2).
Şekil 2 : Kartezyen koordinat sisteminde hacim elemanı |
Kartezyen
koordinat sisteminde V(P,T) fonksiyonunun değişimi (Animasyon 1)
Animasyon 1 : Bir gazın hacminin basınç ve sıcaklığa bağlı olarak değişimi V(P, T) |
I.2. Düzlemsel Polar Koordinatlar :
İki
boyutlu düzlemde fiziksel durumların hepsini açıklayabilmek için kartezyen
koordinat sistemi ile her zaman yeterli olmayabilir. Bazense pratik değildir.
Polar koordinatlar kullanmak daha rahat ve daha anlamlı olabilir. Polar
koordinatlarda, bir noktanın yeri iki eksenin kullanılması yerine, bir eksenden
belli bir açı ve merkezden belli bir uzaklıktaki noktanın belirtilmesi ile
noktasal yer belirtilebilir. Yandaki şekilde X ekseninden 45º sapmış ve
merkezden 3 birim uzaklıktaki noktanın yeri gösterilmiştir.
Şekil 3 : Düzlemsel Polar Koordinatlarda bir noktanın yeri |
Şimdi benzeri bir sistem üzerinde nokta
ve başlangıç noktasına ile ilişkileri matematiksel ifadelerle gösterelim. Bunun
için yandaki şekli kullanacağız. Burada “a” ve “b” uzunlukları;
f
ve
ayrıca
eşitliklerinden
bulunabilir. “P” noktasının yeri “r” ve
“q” değerlerine bağlı
olarak değiştiğinden P noktasının yeri belirlenebilir.
ve
yazıabilir.
Örnek : Düzlemsel polar koordinatları r =3.16 ve q = 71° 34’ olan bir noktanın
koordinatlarını x ve y cinsinden hesaplayınız.
x = 3.16 Cos(71° 34’) = 1.00
y = 3.16 Sin(71° 34’) = 3.00
P noktasının yeri P(1,3) tür.
I.3. Küresel polar koordinatlar :
Düzlemsel
polar koordinat sistemindeki düzleme dik üçüncü bir eksenin katılmasıyla
aşağıdaki şekilde görülen küresel polar koordinat sistemi meydana gelir. Bu tür
bir sistemde bir P noktasının yerinin nasıl tanımlanabileceğini görelim.
Animasyon 2 : Küresel polar koordinatlarda değişkenler. |
bağıntıları kullanılarak
ve
Bu eşitliklerden azimutal
açı;
Polar açı ise;
olarak bulunabilir. Küresel polar koordinat
sistemindeki hacim elemanı dVise;
Şekil 4: Küresel polar koordinatlarda hacim elemanı |
1.4 Silindirik Polar Koordinatlar :
Bir noktanın
XY düzleminden olan uzaklığı (z) ile bu noktanın XY düzlemindeki izdüşümünün
düzlemsel polar koordinatlar cinsinden değeri o noktanın silindirik
koordinatları olarak bilinir. Noktanın yeri bir açı ve uzunluğa bağlı
olarak şeklinde tanımlanır. Silindirik koordinatların x, y, z cinsinden değeri
,
olacağından
,
Ayrıca
ve
yazılabilir.
Şekil 5: Silindirik polar koordinatlarda hacim elemanı |
Bazı Web Kaynaklar
İki ve Üç Boyutta
Koordinat Sistemleri
Düzlemsel
Koordinat Sistemleri
Kimyacılar İçin Matematik, Prof.Dr. Çetin GÜLER, Ege Üniversitesi Basımevi, Bornova-İzmir, 1991