Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley

Matrisler

Matris; satırlar ve sütunlar halinde düzenlenmiş elemanlar veya girdilerden oluşan, bir matematiksel nesneyi veya böyle bir nesnenin özelliğini temsil etmek için kullanılan dikdörtgen bir sayı, sembol veya ifade dizisi tablosudur. Matrislerin kullanıldığı yerler : Matrisler yardımı ile lineer denklem sistemleri çözülebilir. Büyük veri kümelerini uygun şekilde tablolamak için kullanılırlar. Bu kümeler Makine öğrenmesi, verilerin görüntüye dönüştürülmesi, Görüntü İşleme'de her bir görüntü, piksellerin sayısal değerleri bir matriste bulunur. Bilgisayarlara insan dilini yorumlama, işleme ve anlama yeteneği yine matrislerdeki bu büyük yığınlarının işlemnesinin bir sonucudur. Matrisler, oyun geliştirme, animasyon ve sanal gerçeklikte nesnelerin döndürülmesi, ölçeklenmesi ve taşınması için kullanılır. Elektrik devrelerinde Kirchhoff Kanunları matrislerle çözülebilir. Kuvvet ve hareket denklemleri (Newton yasaları) matrislerle çözülebilir. Kimyada reaksiyon denklemleri matrislerle denkleştirilebilir. Peryodik tablo bir tür matristir. Elementlerin tüm özelliklerini bu toplayıp birbirleri ile kolayca karşılaştırabiliriz. Matrisler, atomik moleküler hesaplamalar ile kuantum kimyasında yaygın olarak kullanılırlar. Canlıların genetik kodları da devasa bir matris olarak düşünülebilir. Matrisler : Düşey bir şekilde alt alta yazılmış matris elemanları dizisine sütun Yatak bir şekilde yan yana yazılmış matris elemanları dizisine satır adı verilir. m satır ve n sütündan oluğdan bir A matrisi \rm A=\pmatrix{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3n} \cr \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \cr \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \cr \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \cr a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ldots & a_{mn} \cr } şeklinde yazılır. Bu tür matrisler (m,n). derece veya \rm m \times n \; matris olarak adlandırılır. Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere kare matris adı verilir. Determinat, bir kare matrisin tek bir sayıya indirgenmiş özel bir değeridir. Bu sayı, matrisin birçok özelliği hakkında bilgi verir. Satır veya sutun sayıları o metrisin derecesine eşittir. Her kare matris gerçek bir sayıya eşit olup, bu sayı kare matrisin determinatına eşittir. İkinci dereceden bir kare matrisin determinatı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. \rm D = \left| \matrix{ a & b \cr c & d \cr } \right| = a \cdot d - c \cdot b şeklinde hesaplanır. İkiden daha yüksek dereceli matrislerin determinatını hesaplamak için matris 2. dereceye kadar adım adım küçültülür. Bunun için herhangi bir satır veya sütündaki sayılar göz önüne alınmaksızın geriye kalan matris alınır ve bu matris göz önüne alınmayan satır ve sütunun kesim noktasındaki elemanlar ile çarpılır. Çarpılan bir \rm a_{ij} elemanının işareti \rm (-1)^{i+j} ile belirlenir. \rm 3 \times 3 şeklindeki determinat aşağıdaki \rm D = \left| \matrix{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33} } \right| \rm D = (-1)^{1+1} a_{11} \left| \matrix{ a_{22} && a_{23} \cr a_{32} && a_{33} } \right| + (-1)^{1+2} a_{12} \left| \matrix{ a_{21} && a_{23} \cr a_{31} && a_{33} } \right| + (-1)^{1+3} a_{13} \left| \matrix{ a_{21} && a_{22} \cr a_{31} && a_{32} } \right| \rm D= a_{11} \big( a_{22} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{23} \big) -a_{12} \big( a_{21} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{23} \big) + a_{13} \big( a_{21} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{22} \big) şeklinde açılır. Genel olarak \rm det(D)= \sum _{j=1 } ^m (-1 )^{i+j} \cdot a_{1j} \cdot det(M _{1j} ) şeklinde gösterilir. Bu Laplance kuralıdır. Örnek : Hückel molekül orbital yaklaşımına göre Bütadien molekülünün aşağıdaki determinata uyduğu görülmüştür. Buna göre molekül için E enerji seviyelerini hesaplayınız. \rm \left| \matrix { { \alpha -E \over \beta} & 1 & 0 & 0 \cr 1 & { \alpha -E \over \beta} & 1 & 0 \cr 0 & 1 & { \alpha -E \over \beta} & 1 \cr 0 & 0 & 1 & { \alpha -E \over \beta} } \right| =0 \rm { \alpha -E \over \beta } = X yazılırsa; \rm \left| \matrix { X & 1 & 0 & 0 \cr 1 & X & 1 & 0 \cr 0 & 1 & X & 1 \cr 0 & 0 & 1 & X } \right| =0 \rm X \left| \matrix { X & 1 & 0 \cr 1 & X & 1 \cr 0 & 1 & X \cr } \right| - \left| \matrix { 1 & 1 & 0 \cr 0 & X & 1 \cr 0 & 1 & X \cr } \right| =0 \rm X^2 \left| \matrix { X & 1 \cr 1 & X } \right| - X \left| \matrix { 1 & 1 \cr 0 & X } \right| - \left| \matrix { X & 1 \cr 1 & X } \right| + \left| \matrix { 0 & 1 \cr 0 & X } \right| =0 \rm X^2(X^2-1)-X^2-(X^2-1)=0 \rm X^4-3X^2+1=0 \rm Y=X^2 dersek; \rm Y^2 - 3Y+1=0 yazabiliriz ki buradan; \rm Y_1=2.618033989 \; ve \; Y_2=0.381966011 \rm X_{1,2}= \pm 1.61804 \qquad X_{3,4} = \pm 0.61804 \rm X={ \alpha -E \over \beta } olduğundan; bütadien molekülü için enerji seviyeleri \rm E_{1,2} = \alpha \pm 1.618 \beta \rm E_{3,4} = \alpha \pm 0.618 \beta olarak bulunur.