Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley
Koordinat Sistemleri
|
Evrendeki herhangi bir şeyin veya iki farklı şeyin yeri ister bir yıldız, ister bir insan, ister bir atom olsun noktasal olarak koordinat sistemleri kullanılarak belirlenebilir. Üç boyutlu uzaydan iki boyutlu grafiklere, hatta dört boyutlu zaman-uzay bağlamına kadar her şeyi tanımlamak ve analiz etmek için kullanılan temel matematiksel araçlardır.
Bir molekülün geometrisini, atomların bağ açılarını ve mesafelerini anlamak, aslında doğru bir koordinat sisteminde onların "yerlerini" tanımlamaktan ibarettir. Bir reaksiyonun nasıl gerçekleşeceğini öngörmek ve bağların açısını hesaplamak koordinat sistemleri sayesinde mümkündür. Kimyasal reaksiyonların enerji değişimlerini incelemek için koordinat sistemleri kullanılır. Örneğin, iki atom arasındaki mesafe (r), bağın uzunluğuna göre bir enerji değişimi gösterir. Bu enerji değişimlerini üç boyutlu bir yüzey olarak çizmek, bir reaksiyonun hangi yol boyunca ilerlediğini anlamamızı sağlar. Atomlar arası mesafe ve bağ açısı gibi kavramlar, özellikle büyük moleküllerde Kartezyen yerine polar veya küresel koordinatlarla ifade edilir. Bu, hem analiz hem de hesaplama açısından büyük kolaylık sağlar. Spektroskopik analizlerde moleküllerin titreşim modları, koordinat sistemleriyle tanımlanır. Atomların nasıl titreştiğini veya döndüğünü anlamak için koordinat sistemlerinden yararlanılır. Koordinat sistemleri, kimyada çeşitli süreçlerin görselleştirilmesi ve analizi için oldukça önemli bir araçtır. Kimyasal kinetik, kimyasal denge ve diğer dinamik süreçler, koordinat sistemleri sayesinde daha iyi anlaşılır hale gelir. Kartezyen Koordinatları Birbirine dik iki eksenden oluşmuş koordinat sistemleri kartezyen koordinatlar veya lineer koordinatlar olarak adlandırılır. Düzlem üzerinde bulunan bir nokta bu koordinat sistemi kullanılarak tanımlanabilir. Eksenlerden düşey olanı ordinat yatay olanı ise absis olarak adlandırılır. İki eksenin kesiştiği nokta başlangıç noktası orjin olarak adlandırılır. Kartezyen koordinat sistemi pek çok denel verilerin çizilmesi için kimyada yoğun olarak kullanılırlar. Bu tür bir koordinat sistemini kullanarak Tablo 1 de gösterilen 1000 g su içinde çözünen AgCl miktarının değişim grafiğinin çizilirken dikkat edilmesi gereken noktaların neler olduğunu açıklayarak ilgili grafiği çizelim.
Bİr fonsiyon grafiğini bir bilgisayar programı aracılığı ile çizmek daha kolay ve iyi olacaktır. Ancak Grafiği elimiz ile çizmek zorundaysak izlememiz greken adımları kısaca açıklayalım.
1. ADIM Şekil 1 deki gibi bir grafik kağıdının elimizde olduğunu varsalım. Çizeceğimiz grafik, grafik kağıdının %70 - %80 ini doldurmalıdır. Ordinat eksenine AgCl ün çözünürlük değerlerini, apsis ekseninde de sıcaklık değerlerini yerleştirmeyi planlıyalım.Tabloda AgCl ün en düşük çözünürlük değeri \rm 56 \times 10^{-4} ve en yüksek çözünürlük değeri de \rm 274 \times 10^{-4} olarak görülüyor. Grafik çizerken eksenleri 0 noktasından başlatmak kötü bir fikir olabilir. Bu değerlere bakarak apsis ekseninin etiketlemesini 50 ile 300 arasında yapmayı planlayalım. Neden kötü bir fikir olabileceğini grafik çizildikten sonra tartışılacaktır. Sıcaklık değerleri ise 1.55 ile 34.12 arasında yer aldığında apsis eksenini de 0 ile 40 arasında etiketlemeyi planlayalım. Tabloda verilen üstel faktörün \rm 10^4 şeklinde verildiğine dikkat edin.
2. ADIM Ordinat ekseni 50 ile 300 arasında etiketlendiğinden, bu aralıktaki kareler sayılırsa 25 kare olduğu görülür. Bu nedenle bu eksendeki 1 uzunluk; \rm
t = (1 \; birim \; uzun.){ 300 \; g \; - \; 50 \; g \over 25 \; birim \; uzun. } =10 \; g
Ordinat ekseni 0 ile 40 arasında etiketlendiğinden, bu aralıktaki kareler sayılırsa 40 kare olduğu görülür. Bu nedenle bu eksendeki 1 uzunluk; \rm
t = (1 \; birim \; uzun.){ 40 \; ^oC \; - \; 0 \; ^oC \over 40 \; birim \; uzun. } =1 \; ^oC
olacaktır. Böylece eksenlerdeki etiketlemeler eşit aralıklı olacak şekilde gerekli değerler yazılır. Eksenlere ait bilgiler ve grafiğin adı bu adımda veya daha sonra yazılabilir. Burada başlangıçta yazılmıştır.
3. ADIM İşaretlemeye en küçük sıcaklık değeri ve çözünürlük değeri olan (1.55, 56 ) ikilisi ile başlayalım. Apsisteki her bir birim 1 \rm ^oC olduğundan, 1.55 değeri yaklaşık olarak 0 \rm ^oC etiketinden yaklaşık 1.5 birim uzakta olacaktır. Ordinattaki herbir birim 10 g. karşı geldiğinden, 56 değeri, 50 g etiketinden yaklaşık yarım birimden biraz uzakta bir yerde yer alacaktır. Bu noktalardan çizilen kesikli çizgileri kesiştiği yere veri değeri uygun şekilde çizilir. Son çözünürlük değer ikilisi (34.12, 274 ) için Apsisteki her bir birim 1 \rm ^oC olduğundan, 34 değeri yaklaşık olarak 30 \rm ^oC etiketinden yaklaşık 4 birimden biraz uzakta olacaktır. Ordinattaki herbir birim 10 g. karşı geldiğinden, 274 değeri, 250 g etiketinden yaklaşık 2.5 kadar uzakta bir yerde yer alacaktır. Bu noktalardan çizilen kesikli çizgileri kesiştiği yere veri değeri uygun şekilde çizilir. Diğer noktalar için de benzer şekilde hareket edilir.
4. ADIM İşaretlemeler sırasında çizilen çizgiler silinerek grafiğin net olarak ortaya çıkması sağlanır. Bu adım sonunda çizim tamamlanmıştır. Ancak eğer bu noktalar için uygun bir eğri veya doğru çizilmesi gerekiyorsa gerekli çizgi çizilir. Eğer çizilecek eğri bir fonksiyona uyuyorsa ve fonksiyona göre fit edilecekse bu durum göz öününde bulunudurularak en iyi doğru çizilmelidir. Bunun için en küçük kareler yönteminden elde edilen değerlerden yararlanılarak gerekli çizim yapılmalıdır. Bu grafik için bu durum söz konusu değildir.
5. ADIM Bu grafik için en uygun doğru çizilerek çizim işlemi bitirilmiştir. Grafik çizimi konusunda tecrübesi olmayanların genellikle yaptığı hatalar şunlardır;
Tablo 2 de bu hatalar sonucu ortaya çıkan durumlardan bazıları örneklenmiştir.
Kartezyen koordinatlarda; eğer bir büyüklük aynı anda iki değişkene bağımlı olarak gösterilmek istenirse bu iki değişkene göre üç boyutlu kartezyen koordinatlara göre grafiği de elde edilebilir.
Sonsuz sayıda kartezyen koordinat sisteminin yan yana konulmasıyla 3 boyutlu değişim grafikleri elde edilebilir. Bu şekildeki bir koordinat sistemi; iki boyutlu bir yerden üçüncü boyutlu bir yere geçmemize neden olur. Bbu şekilde elde edilmiş bir basınç, hacim, sıcaklık grafiği Şekil 6 da gösterilmiştir.
Kartezyen koordinat sistemlerinde bir hacim elemanı gösterilmek istenirse Şekil 7 deki gibi gösterilebilir. Düzlemsel Polar Koordinatlar İki boyutlu düzlemde fiziksel durumların hepsini açıklayabilmek için kartezyen koordinat sistemi ile her zaman yeterli olmayabilir. Bazen de pratik değildir. Polar koordinatlar kullanmak daha rahat ve daha anlamlı olabilir. Polar koordinatlarda, bir noktanın yeri iki eksenin kullanılması yerine, bir eksenden belli bir açı ve merkezden belli bir uzaklıktaki noktanın belirtilmesi ile noktasal yer belirtilebilir. 2 boyutlu kartezyen koordinat sisteminde ve düzlemsel polar koordinat sisteminde yüzey elemanlarının durumu şekil 8 de gösterilmiştir.
Şekilden de görüldüğü gibi kartezyen koordinat sisteminde yüzey elemanı dxdy, mesafaye bağlı olarak büyüklüğü değişmezken, polar koordinat sistemlerinde orjinden uzaklık arttıkça dxdy alanı da artış göstermektedir. Şimdi düzlemsel polar koordinat sistemindeki üzerinde nokta ve başlangıç noktasına ile ilişkileri matematiksel ifadelerle gösterelim. Şekil 9 u kullanacağız. Burada "a" ve "b" uzunlukları \rm
Sin \theta = { b \over r } \qquad Cos \theta = { a \over r } \qquad r^2=a^2+b^2
eşitliklerinden bulunabilir.
eşitliklerinden bulunabilir. "P" noktasının yeri "r" ve " \rm \theta " değerlerine bağlı olarak değiştiğinden P noktasının yeri belirlenebilir. \rm
{ b \over a } = { r Sin \theta \over r Cos \theta }= tan \theta \qquad \theta= tan^{-1}{ b \over a }
yazılabilir. Örnek : Düzlemsel polar koordinatları r =1 ve \rm \theta = 115 ^o \; 3 ' \; 37 '' olan bir P noktasının koordinatlarını x ve y cinsinden hesaplayınız. Öncelikle açıyı ondalıklı olarak hesaplayalım. \rm
\theta = 115 + { 3 \over 60 } + { 37 \over 3600 } = 115.0603 ^o
\rm
x=rCos \theta \qquad \Rightarrow \qquad x=(1)Cos(115.0603) = -0.4236
\rm
y=rSin \theta \qquad \Rightarrow \qquad y=(1)Sin(115.0603) = 0.9059
x ve y cinsinden P noktası P(-0.4236,0.9059) de yer almaktadır. Küresel Polar Koordinatlar Düzlemsel polar koordinat sistemindeki düzleme dik üçüncü bir eksenin katılmasıyla Şekil 10 da görülen küresel polar koordinat sistemi meydana gelir. Bu tür bir sistemde bir P noktasının yerinin nasıl tanımlanabileceğini görelim.
Şekil 10 daki bilgilere göre; \rm
Cos (\Phi) = { a \over \overline{AO} }
\qquad
Sin(\Phi) = { b \over \overline{AO} }
\rm
Sin(\theta) = { \overline{AO} \over r}
\qquad
Sin(\theta) = { z \over r}
bağıntılarını kullanarak; \rm
x=a= \overline{OA}Cos(\Phi) \; , y=b=\overline{OA}Sin(\Phi)
ve \rm
\overline{OA}=rSin( \theta)
\rm r=Sin( \theta)Cos( \Phi)
\rm
y=rSin( \theta ) Sin( \Phi )
\rm
z=rCos( \theta )
Bu eşitliklerden azimutal açı; \rm
{ y \over x} = { rSin ( \theta ) Sin ( \Phi )\over r Sin ( \theta) Cos ( \Phi )} = Tan( \Phi)
\rm
\Phi = ArcTan \Big( { y \over x } \Big)
\rm
x^2+y^2+z^2=r^2Sin^2 (\theta)Cos^2( \Phi )+r^2Sin^2( \theta) Sin^2( \Phi)+r^2Cos^2( \theta)
\rm
x^2+y^2+z^2=r^2 \big[ Sin^2 (\theta) \big(Cos^2 (\Phi) + Sin^2(\Phi) \big)+ Cos^2( \theta ) \big]
\rm
x^2+y^2+z^2=r^2\big( Sin^2(\theta) + Cos^2(\theta)\big)
\rm
x^2+y^2+z^2=r^2
elde edilir. Polar açı ise; \rm
r=\sqrt{ x^2+y^2+z^2}
\rm
Cos ( \theta) = { z \over r } \; ve \; Cos ( \theta) = { z \over \sqrt{ x^2+y^2+z^2} }
\rm
\theta =ArcCos \Big( { z \over \sqrt{ x^2+y^2+z^2} } \Big)
olarak bulunur. Küresel polar koordinat sistemindeki hacim elemanı dv ise; \rm
dv=r^2Sin( \theta)dr.d \theta d \Phi
dir.
Silindirik Polar Koordinatlar Bir noktanın XY düzleminden olan uzaklığı (z) ile bu noktanın XY düzlemindeki izdüşümünün düzlemsel polar koordinatlar cinsinden değeri o noktanın silindirik koordinatları olarak bilinir. Noktanın yeri bir açı ve uzunluğa bağlı olarak \rm P(r, \Phi, z ) şeklinde tanımlanır (Şekil 11). Silindirik koordinatların x, y, z cinsinden değerler aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. \rm
Cos( \Phi) = {a \over r} \; , \; Sin( \Phi) = { b \over r }
olduğundan; \rm
x=a=rCos( \Phi ) \; , \; y=b=rSin( \Phi)
ayrıca \rm
x^2+y^2 =r^2Cos^2( \Phi) + r^2Sin^2( \Phi) \qquad \Rightarrow \qquad r=\sqrt{ x^2+y^2}
ve \rm
{ y\over x } = { rSin ( \Phi ) \over rCos ( \Phi) } = Tan ( \Phi ) \qquad \Rightarrow \qquad \Phi = ArcTan \Big( { y \over x} \Big)
yazılır.
|
