Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley

Fonksiyonlar

Matematik, doğanın dilidir ve fonksiyonlar da bu dilin en güçlü ifadelerinden biridir. Evrende gözlemlediğimiz birçok olayın altında sebep-sonuç ilişkisi yatar. Bir düğmeye bastığınızda ışık yanar, sıcaklık arttığında buz erir, bir roket ateşlendiğinde hız kazanır. İşte bu tür ilişkileri matematiksel olarak modellememizi sağlayan araçlar fonksiyonlardır. Fonksiyonlar, bir girdiyi alıp belirli bir kurala göre bir çıktı üreten matematiksel makineler gibidir. Fonksiyonların önemi sadece matematikle sınırlı değildir; fizikten kimyaya, ekonomiden biyolojiye kadar her alanda karşımıza çıkar. Fonsiyonlar kimyada kimyasal olayları anlamak ve kimmyasal sistemlerin davranışlarını bilerek, süreçleri geliştirmek için en çok kullanılan araçlardan biridir. Kimya da genel anlamda çok kullanılan fonksiyonlardan bir kaçına a kısaca göz atalım: Gazlar : Gazlar denildiğinde ilk akla gelen fonksiyonlardan biri basınçtır. Basınç; çok basitçe mol sayısı, hacim ve sıcaklığa bağlı olarak P(n,V,T)=nRT/V şeklinde bir fonksiyon olsa da biz bunu kısaca P=nRT/V şeklinde kullanırız. Elbette ideal gazlar için kullanılan bu eşitlik, gerçek gazlara geçildiğinde başka bazı değişkenlerle birlikte daha kompleks fonksiyonlara dönüşebilir. Gaz moleküllerinin hareketlerini anlamak ve buna bağlı olarak, kimyasal kinetik, denge gibi birçok alanda işimize yarayan Maxwell-Boltzmann hız dağılım olan \rm P_u = {dN/N \over du} = 4 \pi \Big( {m \over 2 \pi k T} \Big)^{3/2} u^2 e^{- { 1 \over 2}mu^2/kT } eşitlikte önemli eşitliklerden biridir. Burada \rm P_u ile gösterilen fonksiyon belli hıza sahip olan moleküllerin kesrini gösterir. Eşitlikten de görüleceği gibi \rm P_u(m,T,u) , gaz molekülerinin kütlesi, sıcaklık ve molekül hızına göre değer almaktadır. Maddelerin veya gazların ısı kapasitelerinin yine geniş sıcaklık aralıklarında sıcaklığın bir fonksiyonu olarak karşımıza çıkar. Kimyasal ve Nükleer Reaksiyonlarda : Kimyasal reaksiyonların hız eşitlikleri, kimyasal reaksiyonların yürüyüş şekillerinin açıklanmasıda çeşitli fonksiyonlar kullanılır. Örneğin A ve B nin yer aldığı bir tepkime A ve B ye bağımlılık gösteriyorsa kullanılan hız eşitliği \rm v(A,B); \rm v=v(A,B)=k[A]^n[B]m şeklinde yazılır. Radyoaktif maddelerin sırasında madde konsantrasyonun değişimi \rm [A]= [A]_o exp(-kt) şeklindeki bir eşitlik ile izlenir. Denge Reaksiyonlar : Asit baz dengeleri veya daha genel olarak kimyasal dengelerdeki türlerin dengedeki konsantrasyonları için çeşitli ve uygun fonksiyonlar kullanılır. Elektrokimyada : Bu alanda da matematiksel fonksiyonlar, özellikle elektrokimyasal hücreler, elektrot potansiyelleri ve akım-gerilim ilişkilerini açıklamak için yaygın olarak kullanılır. Örneğin pil potansiyellerini hesaplamak için kullanılan Nerst Denklemi, Faraday yasası, Debye-Hückel denklemi gibi birçok foksiyonlar kullanılır. Spektroskopide : Maddenin ışığı absorplama veya yayma özellikleri matematiksel fonksiyonlarla ifade edilir. Kuantum Kimyasında Kuantum kimyasında, elektronların davranışı dalga fonksiyonları ile tanımlanır. Bu fonksiyonlar, Schrödinger denklemi gibi matematiksel modellerle çözülür. Bu saydıklarımız genel olarak hemen sayabileceklerimizden yalnızca bazılarıdır. Birinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonlar ve Grafikleri Birinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar genel olarak; a ve b; sabit bir sayı, x bağısız değişken ve f(x) bağımlı değişken olmak üzere \rm f(x)=ax+b şeklinde ifade edilir. Bu fonksiyonların grafikleri düz doğru şeklindedir. fonksiyondaki a değeri bu doğrunun eğimini ve b değeri, x=0 için ordinatın kesildiği noktayı verir. Şekil 1 : f(x)= x     +     fonksiyonu için grafiğini P= ( mol ) ( \rm 0.082 \; atm \; L \; mol^{-1} \; K^{-1} ) ( K) / V fonksiyonu için grafiğini P=( mol ) ( \rm 0.082 \; atm \; L \; mol^{-1} \; K^{-1}) ( K) \rm ({ 1 \over V })   fonksiyonu için grafiğini Şekil 1 de bu tür bir fonksiyonun grafiği gösterilmiştir. a ve b değerlerini değiştirerek grafikteki değişimleri kontrol ediniz. b değerini 0 olarak belirlerseniz greafiğin orjinden başladığını görebilirsiniz. a değerlerini arttırdığınızda grafiğin eğiminin arttığını görebilirsiniz. Bunu görmek için ordinat eksenindeki ve apsis eksenindeki değerlerle ilgili işlem yapmanız gerekir. f(x) fonksiyonu her zaman buradaki gibi x ile doğru orantılı değil ters orantılı da olabilir. Örneğin genel gaz eşitliğini ele alalım. \rm P= { nRT \over V} olduğundan basınç hacim ile ters orantılıdır. Hacim V' ye karşı P grafik edilirse bir parabol ile karşılaşılır. Şekil 1 deki " P - V çiz" i tıklayarak sonucu görün. Böyle bir fonksiyonu doğrusal hale getirmek istersek 1/V 'ye karşı P grafik edilirse doğrusal bir grafik elde edilir. Şekil 1 deki " P - 1/V çiz" i tıklayarak sonucu görün. SORU : \rm A \rightarrow P reaksiyonu birinci mertebeden bir reaksiyon A maddesinin değişim hızı, \rm ln[A]=ln[A]_o-kt eşitliği ile verilir. Burada [A]; A maddesinin t süresindeki konsantrasyonu, \rm [A]_o; başlangıçtaki konsantrasyonudur. k; reaksiyona ilişkin hız sabitidir. tablodaki verileri kullanarak uygun grafiği çizip bu verilere ilişkin en iyi doğruyu en küçük kareler yöntemine göre çizerek A nın başlangıç konsantrasyonunu ve k değeri hesaplayınız. t / dak. A / \rm mol L^{-1} ÇÖZÜM : İlerleyen zaman ile birlikte A nın miktarı değiştiğinden yukarıdaki eşitlikte t bağımsız değişken, A; bağımlı değişkendir. Bu nedenle t ye karşı lnA grafik edildiğinde grafiğin t=0 alacağı değer \rm lnA_o değerini grafiğin eğimi de -k değerini verecektir. Bu nedenle yukarıdaki tabloyu yeniden aşağıdaki şekilde geliştirelim. t / dak. 30 60 120 240 360 A / \rm mol L^{-1} 9 8.1 6.6 4.4 2.8 lnA 2.1972 2.0919 1.8871 1.4816 1.0296 Şekil 2 : t ye karşı ln[A] grafiğine en küçük kareler yöntemi ile çizilen doğru. t ye karşı çizilen ln[A] değerleri sonucu çizilen grafik Şekil 3 de gösterilmiştir. Ayrıca bu veri noktaları için en küçük kareler yöntemine göre doğru çizilirse, çizilen doğrunun t=0 için ordinatı 2.3045 noktasında kestiği görülür. Bu eğrinin eğimi de yine en küçükkareler yöntemine göre doğrunun eğimi -0.0035 \rm s^{-1} olarak hesaplanabilir. Böylece; başlangıç konsantrasyonu \rm e^{ 2.3045 }=10 olarak hesaplanır. Reaksiyona ilişkin hız sabiti de Eğim=-k olduğundan, k=0.0035 \rm s^{ -1 } olarak hesaplanır. İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonlar Bir değişken bulunan bu tür fonksiyonlarda değişkenin 2 dir. Fonsiyonun içinde aynı değişkenin üstü bir olan veya sabit sayı bulunabilir. Bu tür fonksiyonlar gelen olarak \rm f(x)=ax^2+bx+c şeklinde gösterilir. Şekil 3 : f(x)= \rm x^2 + \rm \text{fonksiyonu için grafiğini} \rm \text{Bu denklemin iki kökü vardır. Değerleri } \rm x_1 = 2 \; ve \; x_2=5 \; dir. \rm \text{Fonksiyonun türevinden bu grafiğin dönüm noktasının x=3.5 olduğu bulunur..} Bu tür fonksiyonların kökleri \rm x_{1,2}={ -b \pm \sqrt{b^2 -4ac}\over 2a } denklemi yardımı ile bulunabilir. Ayrıca denklemin dönüm noktası ise fonksiyonun türevine eşittir. Fonksiyonun türevinin nasıl bulunacağını Türev konusundaki bilgilerden öğrenebilirsiniz. Şekil 2 de \rm f(x)= 4 x^2 -28 + 40 fonsiyonu için denklemin kökleri 2 ve 5 olarak bulunmuştur. Fonksiyonun türevinden dönüm noktasının x=3.5 e karşı geldiği bulunabilir. Örnek : \rm N_2O_{4 (g) } \qquad \rightleftharpoons \qquad 2NO_{2 (g) } \qquad \qquad K_p = { P_{ NO_2 }^2 \over P_{ N_2O_4 } }=0.144 reaksiyonu için 25 \rm ^oC deki denge eşitlikten görüldüğü gibi denge sabitinin büyüklüğü 0.144 dür. Başlangıçta basıncı atm. olan \rm N_2O_{4 } gazının denge haline ulaştıktan sonraki basıncı ne kadar olur? Çözüm : \rm \qquad N_2O_{4 (g) } \qquad \rightleftharpoons \qquad 2NO_{2 (g) } \rm B : \; \; 0.5 \; atm \; \; \; \qquad \qquad 0 \; atm. \rm D : \; \; (0.5 - x) \; atm \; \; \; \qquad 2x \; atm. Denge durumundaki değerler denge sabiti eşitliğinde yerine konursa \rm K_p = { P_{ NO_2 }^2 \over P_{ N_2O_4 } }=0.144 \rm { (2x) ^2 \over 0.5-x }=0.144 eşitlik düzenlenirse; \rm (2x)^2=(0.5)(0.144)-0.144x=0 \rm 4x^2+0.144x -0.072=0 Denklemin köklerini bulalım. \rm x_{1,2}={ -b \pm \sqrt{b^2 -4ac}\over 2a } \rm x_{1,2}={ -(0.144) \pm \sqrt{(0.144)^2 -4(4)(-0.072)}\over 2(4) } \rm x_{1,2}={ -(0.144) \pm 1.0829293605771 \over 8 } \rm x_1 = 0.1174 \; atm. \qquad x_2 = -0.1534 \; atm. \rm \qquad \qquad N_2O_{4 (g) } \qquad \rightleftharpoons \qquad 2NO_{2 (g) } \rm \qquad D : \; \; (0.5 - x) \; atm \; \; \; \qquad 2x \; atm. \rm x_1 için; \; \; 0.3826 \; atm \; \; \; \qquad 0.2348 \; atm. \rm x_2 için; \; \; 0.6534 \; atm \; \; \; \qquad -0.3068 \; atm. Elde edilen son sonuçtanda görüldüğü gibi \rm x_2 için elde edilen sonuç mantıksızdır. çünkü azalması gereken \rm N_2O_4 azalması gerekirken artmıştır. \rm NO_2 ise artması gerekirken, değeri negatif gözükmektedir. Bu nedenle köklerden \rm x_2 kabul edilemez. \rm x_1 kökü elde edilen sonuçlar ise oldukça mantıklıdır. Kısacası sistem dengeye ulaştığında \rm N_2O_4 ün kısmi basıncı atm. den, 0.3826 atm. değerine düşerken, \rm N_2O_4 in kısmi basıncı 0.2348 atm. değerine ulaşacaktır.