Hal Fonksiyonlarının Bazı Özelllikleri Şekil 1 : Basınç ve sıcaklığın bir fonksiyonu olarak iç enerjinin değişimi. Kimyasal maddelerin ve reaksiyonların özelliklerini tanımlayabilmek için, bu özelliklerin birbirleri ile ilişkilerini tanımlayabilmemiz gerekir. İç enerji açısından bu bağımlılığı U=f(T,P) şeklinde gösterebiliriz. \rm \Big( {\partial U \over \partial T}\Big)_P \; ve \; \Big( {\partial U \over \partial P}\Big)_T olarak gösterebiliriz. İç enerji için toplam difransiyel \rm dU = \Big( {\partial U \over \partial T}\Big)_P dT + \Big( {\partial U \over \partial P}\Big)_T dP yazılabilir. İç enerji değişimi genellikle sıcaklık ve hacmin bir fonksiyonu olarak, \rm dU = \Big( {\partial U \over \partial T}\Big)_V dT + \Big( {\partial U \over \partial V}\Big)_T dV Şeklinde, entalpi ise sıcaklık ve basıncın fonksiyonu \rm dH = \Big( {\partial H \over \partial T}\Big)_P dT + \Big( {\partial H \over \partial P}\Big)_T dP olarak ele alınır. Kısmi türevleri içeren eşitlikler için genelde dört yardımcı noktaya dikkat etmek gerekir. \rm \Big( {\partial U \over \partial T}\Big)_V ve \rm \Big( {\partial U \over \partial V}\Big)_T kısmi türevleri T ve V nin fonksiyonu olduklarından \rm \Big[ { \partial \over \partial V} \Big( { \partial U \over \partial T} \Big)_V \Big]_T = { \partial ^2 U \over \partial V \partial T} = { \partial ^2 U \over \partial T \partial V } = \Big[ { \partial \over \partial T} \Big( { \partial U \over \partial V} \Big)_T \Big]_V yazılabilir. Süreçler için fonksiyon sabit kalıyorsa, örneğin dU=0 ise; \rm dU = \Big( { \partial U \over \partial T } \Big)_V dT + \Big( { \partial U \over \partial V } \Big)_T dV = 0 yazabiliriz. Bu eşitlik kısmi türev kurallarına göre yeniden düzenlenirse; \rm \Big( {\partial V \over \partial T} \Big)_U = - { ( \partial U / \partial T)_V \over ( \partial U / \partial V)_T } \; veya \; \Big( {\partial T \over \partial V} \Big)_U = - { ( \partial U / \partial V)_T \over ( \partial U / \partial T)_V } yazılabilir. Eğer bir türev toplam difransiyellerden oluşuyorsa, örneğin ; \rm dU = \Big( {\partial U \over \partial T}\Big)_V dT + \Big( {\partial U \over \partial V}\Big)_T dV eşitliği için dT veya dV ye bölünerek \rm { \partial U \over \partial T } = \Big( { \partial U \over \partial V } \Big)_T { \partial U \over \partial T } + \Big( { \partial U \over \partial T } \Big)_V \; veya \; { \partial U \over \partial V } = \Big( { \partial U \over \partial T } \Big)_V { \partial U \over \partial V } + \Big( { \partial U \over \partial V } \Big)_T eşitlikleri yazılabilir. Aynı değişkenlerin sabit tutulduğu türevler ve kısmi türevler, kesirler halinde kullanılabilir. Örneğin \rm {dV \over dP} için; \rm { dV \over dP } = { dV \over dU }{ dU \over dP } Benzer şekildeki kısmi türev işlemi için; \rm \Big( { \partial V \over \partial P } \Big)_T = \Big( { \partial V \over \partial U } \Big)_T \Big( { \partial U \over \partial P } \Big)_T yazılabilir. Bunlara benzer eşitlikler ideal gazların davranışlarını açıklamak için kullanılır.