DİFRANSİYEL (TÜREV) İŞLEMLERİ

 

IV-1. DİFERANSİYELİN TANIMI

Bu tanım, limit ve değişim kavramlanyla çok yakından ilgilidir. y = x2 şeklinde verilen bir fonksiyonda x'in bir dizi değeri için y'nin alacağı değerler şöyledir.

Büyüklüklerin sıralanışından izlendiği gibi x'in değeri 3'e yaklaştığında y'nin değeri de 9 civarında olmaktadır. Böylece x ve y'ye ilişkin sayısal düzenleme yardımıyla x = 3 için y = 9 olacağı kestirilebilmektedir. Bu nedenle  eşitliği yazılabilir. Diğer taraftan,                                   

fonksiyonel yapısında x ile y arasındaki değişimler aşağıdaki gibidir.

Yukandaki fonksiyonda x = 1 konursa y = 0/0 şeklinde belirsiz bir değer eld;

edilir. Oysa sayısal değerierin değişimine dikkat edilirse x = 1 için y = 2 olduğu gc rülür. Nitekim

eşitliğiyle elde edilen limit değerinin yukarıdaki sayısal değişimlerden tahmin edilen y değerini doğrulamaktadır.

Aşağıdaki şekilde soldan ya da sağdan yaklaşıldığında f(x) fonksiyonun 0 noktası değerinin nasıl olduğuna dikkat edin. Bu durumda limit değer x = 0 noktasına yaklaşıldığında fonksiyonun alacağı değer ne olacaktır.

fonsiyonunun değişimi, 0 noktasında fonksiyonun değeri nedir?

 

Yukandaki şekilde izlendiği gibi,  için f (x) = 1 ve  için f (x) = 0'dır. x = 0 değerine yaklaşım yönü çok önemlidir. Negatif yönden yaklaşıldığında , pozitif yönden yaklaşıldığında  ise l'dir. Bunları matematiksel olarak,

eşitlikleriyle gösterebiliriz.

Limit bulma işlemleri üzerinde üç önemli ilke şöyle özetlenebilir. f (x) ve g (x) gibi iki fonksiyonu göz önüne alalım. Eğer bu fonksiyonlarla ilgili olarak,  ve  aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

Son ilkenin geçerli olabilmesi için  olma koşulu vardır. Görüldüğü gibi limit bulma durumunda "SÜREKLİLİK" oldukça önem taşımaktadır. örneğin y = x2 fonksiyonunda x = 3 için fonksiyon tanımlıdır. Oysa y = (x2 -1)/(x -1) fonksiyonu x = 1 için tanımsızdır. Böylece, x = 3 için x2 gerçekten, değerini aldığından x = 3 noktasında süreklidir diye nitelendirilir. f (x) fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olabilmesi için,

eşitliği geçerli olmalıdır. Örneğin  fonksiyonu x = 0 noktasında  olup diğer taraftan x = 0 için y = 0 olduğundan süreklidir denir.

 

Türev alma işlemini yeterince daha iyi kavramak için aşağıdaki geometrik şekli inceleyelim.

Eğri üzerindeki P noktasının eğiminin hesaplanması

 

 

 

Şekildeki  doğrusunun eğimi,   kadar olacaktır. P noktasındaki eğim ise, eğriye bu noktadan çizilen teğetin eğimi kadardır.  doğrusunun eğimi bu iki noktanın koordinatları yardımıyla,

eşitliğiyle belirlenebilir.  doğrusunun eğimi, teğet eğiminden daha büyüktür.

Eğer P ve  noktaları arasında gibi üçüncü bir nokta seçersek, doğrusunun eğimini  doğrusuna ilişkin eğimden daha düşük buluruz. noktasını P noktasına yaklaştırırsak çok yakın konumdaki noktasının absisi x1 + h ise, yeni  doğrusunun eğimi,

eşitliğiyle yazılabilir. Eğer limit durumunda h, 0 değerine yaklaşırsa hareketli  noktası da P noktasıyla çakışmış olur. Böylece P noktasındaki teğetin eğimi ya da eğrinin P noktasındaki eğimi,

genel yapısıyla yazılabilir. Bu matematiksel açıklamalardan da görüldüğü gibi eğrinin eğimi ya da eğriyi belirleyen fonksiyonun türevi, x değişkeni üzerindeki değişimlere oranla y üzerindeki değişim hızıdır, şeklinde tanımlanabilir. Bu büyüklük oldukça önemli olup y = f (x) fonksiyonunda y'nin x'e göre türevi biçiminde tanımlanabilir ve aşağıdaki sembollerle gösterilebilir.

 veya yada  şeklinde tanımlanan y = f (x) fonksiyonunun türevi, eşitlik olarak da,

bağıntısıyla verilebilir. y = f (x) yapısındaki bir fonksiyonun türevi varsa bu fonksiyonun difarensiyeli alınabilir. Türev elde etme işlemi de diferansiyel işlem olarak adlandırılır. 2. dereceden bir türevden söz ediliyorsa d2y/dx2 yazım deseni kullanılır. Anlamı ise;

 

 

demektir. Üçüncü mertebeden bir türevin yazım deseni nasıl olmalıdır? Deneyiniz.

 

Türevin Geometrik Anlamı İçin Excel Dosyası (Ziplenmiş  olarak)

Daha fazlası Ayrıntılı Ders Notlarındadır.