Moleküler Hız Dağılımları

Bir Boyutta Moleküler Hız Dağılımları

Çeşitli hız ve enerjilere sahip moleküllerin sayısına ilişkin temel eşitlik Boltzmann Dağılımı ile verilir. Kinetik moleküler teori temel alan modele göre; gaz molekülleri çeşitli hızlarla ve çeşitli yönlere doğru hareket eder. Bu hızlar Şekil 1 de gösterilmiştir. Şekildeki herbir noktanın orjinden 3d_molecular_beams.gif (20456 bytes) uzaklığı moleküler hızın büyüklüğü ile orantılıdır ve tüm yönlere doğru moleküler hızların dağılımı aynı olduğundan izotropik bir davranış gösterir.

Özel birr yöne doğru örneğin x yönündeki hız dağılımını araştırabiliriz. Eğer ile hız aralığındaki moleküllerin dN/N kesrini bulmalıyız. Şekilde öne doğru hareket eden moleküllerin hız pozitifken zıt yöne hareket eden moleküllerin hızı ise negatiftir. Bu hız aralığındaki moleküllerin kesri için;

molekuler_hizlar1.jpg (8553 bytes)

kullanılır. Buradaki A orantı sabitidir. Bu sabitin değeri, eşitliğin sağ tarafının integralininden hareketle hesaplanabilir. hızının her iki yöndeki tüm olasılıkları arasında yer alacaktır. Bu nedenle bu hız aralığında dN/N değeri 1 olcaktır.

molekuler_hizlar3.jpg (8279 bytes)

böylece hız sabiti için

molekuler_hizlar4.jpg (9319 bytes)

yazılabilir. Bu eşitlikten A nın değeri

molekuler_hizlar5.jpg (7927 bytes)

olarak hesaplanabilir. Sonuçta N molekülün x yönündeki hız dağılımına ilişkin

yazılabilir. Aşağıdaki şekilde azotun iki farklı sıcaklıktaki bir boyuttaki dağılımı verilmiştir.

1d_n2_molecular_rates.gif (44540 bytes)

Üç Boyuttaki Moleküler Hız Dağılımları

Üç boyuttaki hız dağılımı için bir boyuttaki hız dağılımına benzer şekilde moleküllerin x, y ve z doğrultularındaki hız kesirlerini bulabilmek için - , - , - hız aralığındaki molekülleri dikkate almalıyız. Bu nedenle;

3d_hiz_dagilimi1.gif (1845 bytes)

veya

3d_hiz_dagilimi2.gif (969 bytes)

3d_molecular_beams2.gif (109920 bytes) yazılabilir. Yandaki şekildeki gibi bir hacim elemanı içerisindeki moleküler noktaların yoğunluğunu belirleyebiliriz. Bunlar u hızına sahip moleküllerdir. Çünkü bu küresel kabuğun hacmi 4pu²du kadar olup bu elementteki noktaların sayısı yukarıdaki eşitliğin 4pu²du/du_xdu_ydu_z ile çarpılmasıyla elde edilir.Burada değişimi yapılırsa üç boyutlu hız dağılımı için

3d_hiz_dagilimi3.gif (755 bytes)

elde edilebilir.Aşağıda iki farklı sıcaklıkta N₂ için Maxwell-Boltzmann dağılımı çizilmiştir.Düşük sıcaklıklarda moleküler hızlar dar bir aralıkta dağılırken, yüksek sıcaklıklarda aralık genişlemektedir. Ayrıca eğrilerin maksimum değerleri sıcaklığa bağımlı olarak değişmektedir.

3d_n2_molecular_rates.gif (27520 bytes)

Daha önce kinetik teoriden hareketle moleküler hızların hız kareleri ortalamalı karekökü hızının olduğunu göstermiştik. Moleküler hız dağılım eşitliğini kullanarak ortalama moleküler hızların nasıl değiştiğini hesaplayabiliriz. Bu amaçla;

3d_hiz_dagilimi4.gif (1073 bytes)

yazarsak eşitliğin integralinin sonucu

verir. Sonuç olarak kinetik moleküler teori ile uygun olan eşitlik elde edilmiş olur.

Benzer şekilde ortalama hız, , değeri de benzer yaklaşımlarla

3d_hiz_dagilimi7.gif (355 bytes)

şeklinde elde edilir. Bu hızlar dışında hız - olasılık grafiklerindeki maksimum olasılıklı hızı da belirleyebiliriz. Bu grafiğin maksimum değerine karşı gelir. Bunun için

3d_hiz_dagilimi3.gif (755 bytes)

fonksiyonun dc ye göre türevini sıfır yapan c değeri hesaplanmalıdır.

3d_hiz_dagilimi9.gif (1598 bytes)

3d_hiz_dagilimi10.gif (1859 bytes)

eşitliğin her iki tarafı

3d_hiz_dagilimi11.gif (966 bytes)

bölünürse

eşitliği elde edilir. Böylece maksimum olasılıklı hız için

bağıntısı elde edilir (1).